Analys , en gren av matematik som behandlar kontinuerlig förändring och vissa allmänna typer av processer som har framkommit från studien av kontinuerlig förändring, såsom gränser, differentiering och integration . Sedan upptäckten av differentiell och integrerad beräkning av Isaac Newton och Gottfried Wilhelm Leibniz i slutet av 1600-talet har analysen vuxit till ett enormt och centralt fält för matematisk forskning, med tillämpningar inom hela vetenskapen och inom områden som ekonomi, ekonomi och sociologi.
Det historiska ursprunget till analysen kan hittas i försök att beräkna rumsliga kvantiteter såsom längden på en krökt linje eller det område som är inneslutet av en kurva. Dessa problem kan endast anges som frågor om matematisk teknik, men de har en mycket bredare betydelse eftersom de har ett brett utbud av tolkningar i den fysiska världen. Området inuti en kurva är till exempel av direkt intresse för markmätning: hur många tunnland innehåller en oregelbundet formad tomt? Men samma teknik bestämmer också massan av ett enhetligt ark av material som begränsas av någon vald kurva eller den mängd färg som behövs för att täcka en oregelbundet formad yta. Mindre uppenbart kan dessa tekniker användas för att hitta det totala avståndet som ett fordon rör sig med olika hastigheter, det djup som ett fartyg flyter när det placeras i havet eller det totala bränslet konsumtion av en raket.
På samma sätt kan den matematiska tekniken för att hitta en tangentlinje till en kurva vid en given punkt också användas för att beräkna brantheten hos en krökt kulle eller den vinkel genom vilken en rörlig båt måste vända för att undvika en kollision. Mindre direkt är det relaterat till den extremt viktiga frågan om beräkning av momentan hastighet eller andra momentana förändringshastigheter, såsom kylning av ett varmt föremål i ett kallt rum eller fortplantning av en sjukdomsorganism genom en mänsklig befolkning.
Den här artikeln börjar med en kort introduktion till den historiska bakgrunden till analysen och till grundläggande begrepp som talsystem, funktioner, kontinuitet , oändliga serier och gränser, som alla är nödvändiga för att förstå analysen. Efter denna introduktion är en fullständig teknisk granskning, från kalkyl till icke-standardanalys, och sedan avslutas artikeln med en fullständig historik.
den ursprungliga profeten för mormon religionen var
Matematik delar upp fenomen i två breda klasser, diskreta och kontinuerliga, som historiskt motsvarar uppdelningen mellan aritmetik och geometri . Diskreta system kan endast delas upp hittills och de kan beskrivas i termer av heltal 0, 1, 2, 3,…. Kontinuerliga system kan delas upp på obestämd tid, och deras beskrivning kräver de verkliga siffrorna, siffrorna representerade av decimala utvidgningar som 3.14159…, möjligen pågå för alltid. Förstå den verkliga karaktären hos sådana oändlig decimaler ligger i hjärtat av analysen.
Skillnaden mellan diskret matematik och kontinuerlig matematik är en central fråga för matematisk modellering, konsten att representera funktioner i den naturliga världen i matematisk form. Universumet innehåller inte eller består av faktiska matematiska objekt, men många aspekter av universum liknar mycket matematiska begrepp. Till exempel finns nummer två inte som ett fysiskt objekt, men det beskriver ett viktigt inslag i sådana saker som mänskliga tvillingar och binära stjärnor. På ett liknande sätt ger de verkliga siffrorna tillfredsställande modeller för en mängd olika fenomen, även om ingen fysisk kvantitet kan mätas exakt till mer än ett dussin eller så decimaler. Det är inte värdena på oändligt många decimaler som gäller den verkliga världen utan de deduktiva strukturerna som de förkroppsligar och möjliggör.
Analys kom till för att många aspekter av den naturliga världen lönsamt kan betraktas som kontinuerliga - åtminstone i en utmärkt grad av approximation. Återigen är detta en fråga om modellering, inte om verkligheten. Materiet är inte riktigt kontinuerligt; om materien är indelad i tillräckligt små bitar, kommer odelbara komponenter eller atomer att dyka upp. Men atomer är extremt små, och för de flesta applikationer behandlar de ämnen som om det var en kontinuum introducerar försumbar fel samtidigt som beräkningarna förenklas kraftigt. Kontinuerlig modellering är till exempel standardteknisk praxis när man studerar vätskeflödet såsom luft eller vatten, böjning av elastiska material, fördelning eller flöde av elektrisk ström och flödet av värme.
Två stora steg ledde till att analyser skapades. Den första var upptäckten av det överraskande förhållandet, känt som den grundläggande satsen för kalkyl, mellan rumsliga problem som involverar beräkning av en viss total storlek eller värde, såsom längd, area eller volym (integration), och problem med förändringshastigheter såsom lutningar och hastigheter (differentiering). Tack för den oberoende upptäckten, omkring 1670, av den grundläggande satsen för kalkyl tillsammans med uppfinningen av tekniker för att tillämpa denna sats går gemensamt till Gottfried Wilhelm Leibniz och Isaac Newton.
Medan nyttan av kalkyl när man förklarade fysiska fenomen var omedelbart uppenbart, dess användning av oändligheten i beräkningar (genom nedbrytning av kurvor, geometriska kroppar och fysiska rörelser i oändligt många små delar) genererade omfattande oro. I synnerhet den anglikanska biskopen George Berkeley publicerade en berömd broschyr, Analytikern; eller, en diskurs riktad till en otrogen matematiker (1734) och påpekade att kalkylen - åtminstone, som presenterad av Newton och Leibniz - hade allvarliga logiska brister. Analys växte fram ur den resulterande noggranna granskningen av tidigare löst definierade begrepp som fungera och begränsa.
Newtons och Leibnizs tillvägagångssätt för kalkyl hade främst varit geometriskt och involverat förhållanden med nästan nolldelare - Newtons flöden och Leibniz oändliga simal. Under 1700-talet blev kalkylen alltmer algebraisk som matematiker - framför allt schweizern Leonhard Euler och den italienska franska Joseph-Louis Lagrange —Började generalisera begreppen kontinuitet och gränser från geometriska kurvor och kroppar till mer abstrakta algebraiska funktioner och började utöka dessa idéer till komplexa tal. Även om denna utveckling inte var helt tillfredsställande ur en grundläggande synvinkel, var de grundläggande för den slutgiltiga förfiningen av en strikt grund för beräkning av franskmannen Augustin-Louis Cauchy, den bohemiska Bernhard Bolzano och framför allt tyska Karl Weierstrass på 1800-talet.
