Slumpmässiga variabler och sannolikhetsfördelningar

En slumpmässig variabel är en numerisk beskrivning av resultatet av ett statistiskt experiment. En slumpmässig variabel som endast kan anta ett ändligt tal eller ett oändlig värdesekvensen sägs vara diskret; ett som kan anta vilket värde som helst i något intervall på den verkliga talraden sägs vara kontinuerligt. Till exempel skulle en slumpmässig variabel som representerar antalet bilar som säljs på en viss återförsäljare på en dag vara diskret, medan en slumpmässig variabel som representerar vikten av en person i kg (eller pund) skulle vara kontinuerlig.

Sannolikhetsfördelningen för en slumpmässig variabel beskriver hur sannolikheterna fördelas över värdena för den slumpmässiga variabeln. För en diskret slumpmässig variabel, x är sannolikhetsfördelningen definierad av en sannolikhetsmassfunktion, betecknad med f ( x ). Denna funktion ger sannolikheten för varje värde av den slumpmässiga variabeln. Vid utvecklingen av sannolikhetsfunktionen för en diskret slumpmässig variabel måste två villkor vara uppfyllda: (1) f ( x ) måste vara icke-negativt för varje värde av den slumpmässiga variabeln, och (2) summan av sannolikheterna för varje värde av den slumpmässiga variabeln måste vara lika med ett.



En kontinuerlig slumpmässig variabel kan anta vilket värde som helst i ett intervall på den verkliga talraden eller i en samling intervaller. Eftersom det finns ett oändligt antal värden i vilket intervall som helst är det inte meningsfullt att prata om sannolikheten för att den slumpmässiga variabeln kommer att ta ett specifikt värde; istället övervägs sannolikheten att en kontinuerlig slumpmässig variabel ligger inom ett givet intervall.



I det kontinuerliga fallet är motsvarigheten till sannolikhetsfunktionen sannolikhetsdensitetsfunktionen, också betecknad med f ( x ). För en kontinuerlig slumpmässig variabel tillhandahåller sannolikhetsdensitetsfunktionen funktionens höjd eller värde vid ett visst värde på x ; det ger inte direkt sannolikheten för att den slumpmässiga variabeln tar ett specifikt värde. Området under diagrammet för f ( x ) motsvarande något intervall, erhållet genom att beräkna integralen av f ( x ) över det intervallet, ger sannolikheten att variabeln kommer att ta ett värde inom detta intervall. En sannolikhetsdensitetsfunktion måste uppfylla två krav: (1) f ( x ) måste vara icke-negativt för varje värde i den slumpmässiga variabeln och (2) väsentlig över alla värden i den slumpmässiga variabeln måste vara lika med ett.

Det förväntade värdet, eller medelvärdet, av en slumpmässig variabel — betecknad med ÄR ( x ) eller μ — är ett viktat genomsnitt av de värden som den slumpmässiga variabeln kan anta. I det diskreta fallet ges vikterna av sannolikhetsmassafunktionen, och i det kontinuerliga fallet ges vikterna av sannolikhetsdensitetsfunktionen. Formlerna för beräkning av de förväntade värdena för diskreta och kontinuerliga slumpmässiga variabler ges av ekvationerna 2 respektive 3.



ÄR ( x ) = Σ x f ( x ) (två)

ÄR ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)

Variansen hos en slumpmässig variabel, betecknad med Var ( x ) eller σtvå, är ett viktat medelvärde av kvadratavvikelserna från medelvärdet. I det diskreta fallet ges vikterna av sannolikhetsmassafunktionen, och i det kontinuerliga fallet ges vikterna av sannolikhetsdensitetsfunktionen. Formlerna för beräkning av avvikelserna för diskreta och kontinuerliga slumpmässiga variabler ges av ekvationerna 4 respektive 5. De standardavvikelse , betecknad σ, är den positiva kvadratroten av variansen. Eftersom standardavvikelsen mäts i samma enheter som den slumpmässiga variabeln och variansen mäts i kvadratiska enheter är standardavvikelsen ofta det föredragna måttet.



Var( x ) = σtvå= Σ ( x - μ)två f ( x ) (4)

Var( x ) = σtvå= ∫ ( x - μ)två f ( x ) d x (5)

Särskilda sannolikhetsfördelningar

Binomialfördelningen

Två av de mest använda diskreta sannolikhetsfördelningarna är binomialen och Poisson. Binomial sannolikhetsfunktion (ekvation 6) ger sannolikheten att x framgångar kommer att ske i n prövningar av ett binomialt experiment.



Ekvation.

Ett binomialt experiment har fyra egenskaper: (1) det består av en sekvens av n identiska prövningar; (2) två resultat, framgång eller misslyckande, är möjliga vid varje försök; (3) sannolikheten för framgång vid varje rättegång, betecknad sid , ändras inte från rättegång till rättegång; och (4) försöken är oberoende. Antag till exempel att det är känt att 10 procent av ägarna till två år gamla bilar har haft problem med sin bils elektriska system. För att beräkna sannolikheten att hitta exakt två ägare som har haft elektriska systemproblem av en grupp på 10 ägare kan binomial sannolikhetsmassfunktion användas genom att ställa in n = 10, x = 2 och sid = 0,1 i ekvation 6; i detta fall är sannolikheten 0,1937.



Poisson-distributionen

Poisson-sannolikhetsfördelningen används ofta som en modell för antalet ankomster till en anläggning inom en viss tidsperiod. Till exempel kan en slumpmässig variabel definieras som antalet telefonsamtal som kommer in i ett flygbokningssystem under en period av 15 minuter. Om medelantalet ankomster under ett 15-minutersintervall är känt kan Poisson-sannolikhetsmassfunktionen som ges av ekvation 7 användas för att beräkna sannolikheten för x ankomster.

Ekvation.



Antag till exempel att det genomsnittliga antalet samtal som anländer under en 15-minutersperiod är 10. För att beräkna sannolikheten för att 5 samtal kommer in inom de närmaste 15 minuterna, μ = 10 och x = 5 ersätts i ekvation 7, vilket ger en sannolikhet på 0,0378.

Normalfördelningen

Den mest använda kontinuerliga sannolikhetsfördelningen i statistik är den normala sannolikhetsfördelningen. Grafen som motsvarar en normal sannolikhetsdensitetsfunktion med ett medelvärde på μ = 50 och en standardavvikelse på σ = 5 visas iFigur 3. Liksom alla normalfördelningsdiagram är det en klockformad kurva. Sannolikheter för den normala sannolikhetsfördelningen kan beräknas med hjälp av statistiska tabeller för den normala normala sannolikhetsfördelningen, vilket är en normal sannolikhetsfördelning med ett medelvärde på noll och en standardavvikelse på en. En enkel matematisk formel används för att konvertera vilket värde som helst från en normal sannolikhetsfördelning med medelvärdet μ och en standardavvikelse σ till ett motsvarande värde för en standardnormalfördelning. Tabellerna för normal normalfördelning används sedan för att beräkna lämpliga sannolikheter.



hur fick fleetwood mac sitt namn
normal sannolikhetsfördelning

normal sannolikhetsfördelning Figur 3: En normal sannolikhetsfördelning med ett medelvärde ( μ ) av 50 och en standardavvikelse ( σ ) från 5. Encyclopædia Britannica, Inc.

Det finns många andra diskreta och kontinuerliga sannolikhetsfördelningar. Andra allmänt använda diskreta fördelningar inkluderar den geometriska, den hypergeometriska och den negativa binomialen; andra vanligt förekommande kontinuerliga fördelningar inkluderar den enhetliga, exponentiella, gamma, chi-kvadrat, beta, t och F.